1. 拉格朗日插值
  2. 均差与牛顿插值多项式
  3. 埃尔米特插值
  4. 分段低次插值
  5. 三次样条插值

有些老师如同大山一样压抑着学生。

华中师范大学真是太多好老师了,可惜这辈子,在本科期间是无缘再见了。

潘老师的学习建议

重基础,多练习,勤思考 I hear and I forget, I see and I remember, I do and I understand.

  • 注意掌握各种数值方法的思想和原理,而不是死记硬背
  • 注意数值方法的处理技巧,以及与计算机编程的结合(编程实践)
  • 注重必要的数值计算训练(必要的手算推导能力)
  • 要重视算法的误差分析、收敛性和稳定性

纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行。

问题的提出

白话:根据有限数据来推测未知点的值

插值函数:

P(xi)=yi(i=0,1,,n)P(x_i)=y_i\qquad (i=0,1,\cdots,n)

插值多项式:

P(x)=a0+a1x++anxnP(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n

确定曲线(插值函数)使其通过插值点,用它近似表示数据的理想函数。

多项式插值

给定n+1n+1个点,求次数不超过nn的多项式。 aia_i为未知数

{a0+a1x0++anx0n=y0a0+a1x1++anx1n=y1...a0+a1xn++anxnn=yn\begin{cases} a_0+a_1x_0+\cdots+a_nx_0^n=y_0\\ a_0+a_1x_1+\cdots+a_nx^n_1=y_1\\ ...\\ a_0+a_1x_n+\cdots+a_nx^n_n=y_n \end{cases}

化成范德蒙矩阵,其行列式值不为零,解唯一。

行列式值与解的关系 待补充

拉格朗日插值

线性插值

只有两个节(数据)点(xk,yk),(xk+1,yk+1)(x_k,y_k),(x_{k+1},y_{k+1})

P(x)=a0+a1x=L1(x)(线性插值)P(x)=a_0+a_1x=L_1(x)\tag{线性插值}

要求插值函数上的值与节点值严格一致,在图像上显示出来就是一条直线,其斜率为:

k=yk+1ykxk+1xkk=\frac{y_{k+1}-y_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}

转化成:

L1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)L_1(x)=y_kl_k(x)+y_{k+1}l_{k+1}(x)

其中:

lk(x)=xxk+1xkxk+1lk+1(x)=xxkxk+1xkl_k(x)=\frac{x-x_{k+1}}{x_k-x_{k+1}}\qquad l_{k+1}(x)=\frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}

lk(x),lk+1(x)l_k(x),l_{k+1}(x)为线性插值基函数,在节点上满足:

lk(xk)=1lk(xk+1)=0lk+1(xk)=0lk+1(xk+1)=1l_k(x_k)=1\qquad l_k(x_{k+1})=0 \qquad l_{k+1}(x_k)=0 \qquad l_{k+1}(x_{k+1})=1\qquad

习题1: (1,0) (2,4)

l1=x121=x1l2=x212=2xl_1=\frac{x-1}{2-1}=x-1\qquad l_2=\frac{x-2}{1-2}=2-x

l1(x)=0+4x4=4x4l_1(x)=0+4x-4=4x-4

抛物插值

有三个节点时:

P(x)=a0+a1x+a2x2=L2(x)(抛物插值)P(x)=a_0+a_1x+a_2x^2=L_2(x)\tag{抛物插值}

进而化简得到基函数:下面节点减去所有其他的点,上面用x替换节点

L2(x)=yk1lk1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x)L_2(x)=y_{k-1}l_{k-1}(x)+y_{k}l_{k}(x)+y_{k+1}l_{k+1}(x)

其中:

lk1(x)=(xxk)(xxk+1)(xk1xk)(xk1xk+1)l_{k-1}(x)=\frac{(x-x_k)(x-x_{k+1})}{(x_{k-1}-x_{k})(x_{k-1}-x_{k+1})}

基函数序数与x序数的关系:相等为1,不相等为0。

lk1(xk1)=1lk1(xk)=0lk1(xk+1)=0...l_{k-1}(x_{k-1})=1\qquad l_{k-1}(x_{k})=0\qquad l_{k-1}(x_{k+1})=0\qquad ...

习题2: (0,1) (1,2) (2,3)

l1(x)=(x1)(x2)(01)(02)...l_1(x)=\frac{(x-1)( x-2)}{(0-1)(0-2)}...

L2(x)=l1(x)y1+...L_2(x)=l_1(x)y_1+...

拉格朗日插值多项式

当节点数n比3大时

Ln(xj)=k=0nyklk(xj)=yj(j=0,1,,n)L_n(x_j)=\sum_{k=0}^n y_kl_k(x_j)=y_j\qquad (j=0,1,\cdots,n)

n次插值基函数性质:

lj(xk)={1k=j0kjl_j(x_k)= \begin{cases} 1 & k=j\\ 0 & k≠j\\ \end{cases}

lk(x)=(xx0)(xxk1)(xxk+1)(xxn)(xkx0)(xkxk1)(xkxk+1)(xkxn)l_{k}(x)=\frac{\left(x-x_{0}\right) \cdots\left(x-x_{k-1}\right)\left(x-x_{k+1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right)}{\left(x_{k}-x_{0}\right) \cdots\left(x_{k}-x_{k-1}\right)\left(x_{k}-x_{k+1}\right) \cdots\left(x_{k}-x_{n}\right)}

引入记号:

ωn+1(x)=(xx0)(xx1)(xxn)\omega_{n+1}(x)=(x-x_{0})(x-x_{1})\cdots (x-x_{n})

所以:

ωn+1(xk)=(xkx0)(xkxk1)(xkxk+1)(xkxn)\omega^{'}_{n+1}(x_k)=(x_k-x_{0})\cdots (x_k-x_{k-1})(x_k-x_{k+1})\cdots (x_k-x_{n})

于是公式(3.5)可以化简为:

Ln(x)=k=0nykωn+1(x)(xxk)ωn+1(xk)L_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n} y_{k} \frac{\omega_{n+1}(x)}{\left(x-x_{k}\right) \omega_{n+1}^{\prime}\left(x_{k}\right)}

特别篇- 拉格朗日插值的C++ 实现

题目:求以下数据的以多项式为基底、以拉格朗日插值多项式为基底、以牛顿插值多项式为基底 的二次插值多项式

f(x)f(x) 0 -3 4
x 1 -1 2
解答:
  1. 多项式插值:

    直接设未知数,代入解方程即可,可以求得:

F(x)=20+9x+11x26F(x)= \frac{-20+9x+11x^2}{6}

  1. 拉格朗日插值多项式

L0(x)=12x22L1(x)=23x+x26L2(x)=1+x23L2(x)=14+9x+5x26\begin{aligned} L_0(x)&=\frac{1}{2}-\frac{x^2}{2}\\ L_1(x)&=\frac{2-3x+x^2}{6}\\ L_2(x)&=\frac{-1+x^2}{3}\\ \therefore L2(x)&=\frac{-14+9x+5x^2}{6} \end{aligned}

  1. 牛顿插值多项式

    设此二次多项式为:

    P2(x)=f(x0)+f[x0,x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)P_{2}(x)= f\left(x_{0}\right)+f\left[x_{0}, x_{1}\right]\left(x-x_{0}\right)+f\left[x_{0}, x_{1}, x_{2}\right]\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)

    差商表如下:

    xix_i f(xi)f(x_i) 一阶差商 二阶差商
    1 0
    -1 -3 32\frac{3}{2}
    2 4 73\frac{7}{3} 56\frac{5}{6}

    代入可以求得P2(x)P_2(x)为:

    P2(x)=14+9x+5x26P_2(x)=\frac{-14+9x+5x^2}{6}

    可见在最高阶次为2的情形下,拉格朗日插值与牛顿插值 得到的结果形式上一致

  2. 编程实现:

01_Lagrange.c
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40
// 拉格朗日插值 @抛物插值 
// Monday, September 26, 2022 6:43:15 PM CST
// 田欣洋
// modified from https://blog.csdn.net/landcruiser007/article/details/79314887
// 采用g++ 编译,由于gcc不支持 new, delete 命令。
#include<stdio.h>

//定义函数 lagrange(坐标x, 坐标y, 插值点x, 最高阶次)
float lagrange(float x[],float y[],float xx,int n)
{
int i,j;
float *a,yy=0;
a=new float[n];
for(i=0;i<=n-1;i++)
{
a[i]=y[i];
for(j=0;j<=n-1;j++)
if(j!=i)a[i]*=(xx-x[j])/(x[i]-x[j]);
yy+=a[i];
}
delete a;
return yy;
}

// 主函数
int main()
{
//输入所给的坐标点
float y[3]={0, -3, 4};
float x[3]={1, -1, 2};
//输入要求的或要验证的 坐标x的值
float xx1=1,xx2=0,xx3=2,yy1,yy2,yy3;
yy1=lagrange(x,y,xx1,3);
yy2=lagrange(x,y,xx2,3);
yy3=lagrange(x,y,xx3,3);
printf("x1=%-20f,y1=%f\n",xx1,yy1);
printf("x2=%-20f,y2=%f\n",xx2,yy2);
printf("x3=%-20f,y3=%f\n",xx3,yy3);
return 0;
}
输出结果
1
2
3
x1=1.000000            ,y1=0.000000
x2=0.000000 ,y2=-2.333333
x3=2.000000 ,y3=4.000000

可见与理论结果是很相符合的。

插值余项与误差估计

罗尔定理

余项定义:

Rn(x)=f(x)Ln(x)R_n(x)=f(x)-L_n(x)

Rn(x)=f(x)Ln(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!ωn+1(x)R_{n}(x)=f(x)-L_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} \omega_{n+1}(x)

牛顿插值

为何要用牛顿插值法?

拉格朗日插值与插值节点的依赖性太大,用牛顿插值法可以逐次进行插值。

将拉格朗日线性插值看作零次插值的修正;线性插值看作抛物插值的修正;...

差商(微商的离散形式,也叫均差):

  • x0,x1x_0, x_1 互异,定义函数 f(x)f(x) 的一阶均差

f[x0,x1]=f(x1)f(x0)x1x0f\left[x_0, x_1\right]=\frac{f\left(x_1\right)-f\left(x_0\right)}{x_1-x_0}

  • x0,x1,x2x_0, x_1, x_2 互异,定义 f(x)f(x) 的二阶均差

f[x0,x1,x2]=f[x1,x2]f[x0,x1]x2x0f\left[x_0, x_1, x_2\right]=\frac{f\left[x_1, x_2\right]-f\left[x_0, x_1\right]}{x_2-x_0}

  • x0,x1,,xkx_0, x_1, \ldots, x_k 互异,定义 f(x)f(x)nn 阶均差定义为

f[x0,x1,,xk]=f[x1,,xk]f[x0,,xk1]xkx0f\left[x_0, x_1, \ldots, x_k\right]=\frac{f\left[x_1, \ldots, x_k\right]-f\left[x_0, \ldots, x_{k-1}\right]}{x_k-x_0}

f[xi,xi+1,,xi+k]=f[xi+1,xi+2,,xi+k]f[xi,xi+1,,xi+k1]xi+kxif\left[x_{i}, x_{i+1}, \cdots, x_{i+k}\right]=\frac{f\left[x_{i+1}, x_{i+2}, \cdots, x_{i+k}\right]-f\left[x_{i}, x_{i+1}, \cdots, x_{i+k-1}\right]}{x_{i+k}-x_{i}}

差商的性质

  1. k阶差商

    f[x0,x1,,xk]=j=0kf(xj)ωk+1(xj)f[x_0, x_1, · · · , x_k] =\sum_{j=0}^k\frac{f(x_j)}{\omega^{'}_{k+1}(x_j)}

  2. 差商与其所含节点的排列次序无关,即

    f[xi,xi+1]=f[xi+1,xi]f[x_i , x_{i+1}] = f[x_{i+1}, x_i]

  3. f(x)f(x)在包含互异节点x0,x1,,xnx_0, x_1, · · · , x_n的闭区间[a,b][a, b]上有n阶导数,则

    f[x0,x1,,xn]=fn(ξ)n!ξ(a,b)f[x_0, x_1, · · · , x_n] =\frac{f^{n}(\xi)}{n!}\quad \xi \in(a,b)

差商表

牛顿插值多项式

2021-10-16 12:31:19

不学了!!!我要去收拾东西,晚上再坐上32个小时的火车,去向不可知的远方。楼下母亲快把饭做好了,饿!饿!饿!

回到学校再来过!!!

依次迭代可以得到,牛顿插值多项式的形式。把 xx 看成一个点,由均差定义得

f(x)=f(x0)+(xx0)f[x,x0]f[x,x0]=f[x0,x1]+(xx1)f[x,x0,x1].f[x,x0,x1]=f[x0,x1,x2]+(xx2)f[x,x0,x1,x2]f[x,x0,,xn1]=f[x0,,xn]+(xxn)f[x,x0,,xn]\begin{aligned} &f(x)=f\left(x_0\right)+\left(x-x_0\right) f\left[x, x_0\right] \\ &f\left[x, x_0\right]=f\left[x_0, x_1\right]+\left(x-x_1\right) f\left[x, x_0, x_1\right] . \\ &f\left[x, x_0, x_1\right]=f\left[x_0, x_1, x_2\right]+\left(x-x_2\right) f\left[x, x_0, x_1, x_2\right] \\ &\ldots \ldots \\ &f\left[x, x_0, \ldots, x_{n-1}\right]=f\left[x_0, \ldots, x_n\right]+\left(x-x_n\right) f\left[x, x_0, \ldots, x_n\right] \end{aligned}

把后一式依次代入前一式得

f(x)=f(x0)+f[x0,x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)++f[x0,x1,,xn](xx0)(xxn1)+f[x,x0,,xn]ωn+1(x)=Nn(x)+Rn(x)其中 ωn+1(x)=(xx0)(xx1)(xxn).\begin{aligned} &f(x)=f\left(x_0\right)+f\left[x_0, x_1\right]\left(x-x_0\right)+f\left[x_0, x_1, x_2\right]\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right)+\cdots\\ &+f\left[x_0, x_1, \cdots, x_n\right]\left(x-x_0\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right)\\ &+\underline{f\left[x, x_0, \cdots, x_n\right] \omega_{n+1}(x)}=\underline{N_n(x)}+\underline{R_n(x)}\\ \text{其中 }&\omega_{n+1}(x)=\left(x-x_0\right)\left(x-x_1\right) \cdots\left(x-x_n\right) . \end{aligned}

简化一下,于是得到牛顿插值多项式:

Nn(x)=f(x0)+f[x0,x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(xx1)++f[x0,x1,,xn](xx0)(xx1)(xxn1)R~n(x)=f[x,x0,x1,,xn](xx0)(xx1)(xxn)\begin{aligned} N_{n}(x)=& f\left(x_{0}\right)+f\left[x_{0}, x_{1}\right]\left(x-x_{0}\right)+f\left[x_{0}, x_{1}, x_{2}\right]\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right)+\cdots \\ &+f\left[x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\right]\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n-1}\right) \\ \tilde{R}_{n}(x)=& f\left[x, x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n}\right]\left(x-x_{0}\right)\left(x-x_{1}\right) \cdots\left(x-x_{n}\right) \end{aligned}

Nn(x)N_n(x)nn次牛顿插值多项式,R~n(x)R̃_n (x)为牛顿型插值余项。

  • 插值多项式存在且唯一:Pn(x)Ln(x)P_n(x)≡ L_n(x)

差分形式

步长:等距节点xk=x0+kh (k=0,1,,n)x_k=x_0+kh\ (k=0,1,\dots,n)

Δfk=fk+1fk\Delta f_k=f_{k+1}-f_k一阶差分

Δfk=fk+1fk\Delta f_{k}=f_{k+1}-f_{k}

  • 差分与差商的关系:

f[x0,x1,,xk]=Δky0k!hk,k=1,2,,nf[xn,xn1,,xnk]=kynk!hk,k=1,2,,n\begin{aligned} &f\left[x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{k}\right]=\frac{\Delta^{k} y_{0}}{k ! h^{k}}, \quad k=1,2, \cdots, n \\ &f\left[x_{n}, x_{n-1}, \cdots, x_{n-k}\right]=\frac{\nabla^{k} y_{n}}{k ! h^{k}}, \quad k=1,2, \cdots, n \end{aligned}

  • 差分与导数的关系

    Δnyo=hnf(n)(ξ) ξ(x0,xn)\Delta^n y_o=h^nf^{(n)}(\xi)\ \xi \in (x_0,x_n)

  • 牛顿向前插值多项式

    Pn(x0+th)=f(x0)+tΔy0+t(t1)2!Δ2y0++t(t1)(tn+1)n!Δny0P_{n}\left(x_{0}+t h\right)=f\left(x_{0}\right)+t \Delta y_{0}+\frac{t(t-1)}{2 !} \Delta^{2} y_{0}+\cdots+\frac{t(t-1) \cdots(t-n+1)}{n !} \Delta^{n} y_{0}

    其余项为:

    Rn(x0+th)=t(t1)(tn+1)n!hn+1f(n+1)(ξ)ξ(x0,xn)R_n(x_0+th)=\frac{t(t-1) \cdots(t-n+1)}{n !}h^{n+1}f^{(n+1)}(\xi)\quad\xi \in (x_0,x_n)

课后作业

第一题

已知数据:

xi122.546ui11.522.222.038.351.1\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline x_i & 1 & 2 & 2.5 & 4 & 6 \\ \hline u_i & 11.5 & 22.2 & 22.0 & 38.3 & 51.1 \\ \hline \end{array}

使用拉格朗日和一般多项式方法进行插值。

解:

  1. 一般多项式插值由题可得多项式为:

a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=11.5 \ a_0+a_1 2+a_2 4+a_{33} 8+a_4 \times 16=22.4 \ a_{10}+a_1 2.5+a_2 .6 .25+a_3 \times 15.625+a_4 \times 38.0625=22.0 \ a_0+a_1 \times 4+a_2 \times 16+a_3 \times 64+a_4 \times 2156=38.3 \ a_0+a_1 \times 6+a_2 \times 36+a_3 \times 216+a_4 \times 1286=51.1 \end{array}\right.

其矩阵形式为: 其矩阵形式为:

\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 4 & 8 & 16 \ 1 & 25 & 6.25 & 15.625 & 31.0625 \ 1 & 4 & 16 & 64 & 256 \ 1 & 6 & 36 & 216 & 1286 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} a_0 \ a_1 \ a_2 \ a_3 \ a_4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} 11.5 \ 22.2 \ 22.0 \ 38.3 \ 51.1 \end{array}\right]

求解可得: 求解可得:

\left{\begin{array}{l} a_0=-60.26 \ a_1=10 9.205 \ a_2=-43.3825 \ a_3=7.1275 \ a_4=-1.215 \end{array}\right.

所以一般多项式的插值公式为: 所以一般多项式的插值公式为:

u_1(x)=\sum_n^R a_i x=-1.215 x^4+7.1275 x^3-43.8325 x^2+10 9. 205 x-60.26

2. 拉格朗日插值 设该插值多项式为$u(x)$则

\begin{aligned} \mu(x)&=\sum_{i=1}^n u P_i(x)\= &11.5 \times \frac{(x-2)(x-2.5)(x-4)(x-6)}{(-1) \times(-1.5) \times(-3) \times(-5)}+22.2 \times \frac{(x-1)(x-2.5)(x-4)(x-6)}{1 \times(-0.5) \times(-2) \times(-4)}\&+22 \times \frac{(x-1)(x-2)(x-4)(x-6)}{1.5 \times 0.5 \times(-1.5) \times(-3.5)} +38.3 \times \frac{(x-1)(x-2)(x-2.5)(x-6)}{3 \times 2 \times 1.5 \times(-2)}\ &+51.1 \times \frac{(x-1)(x-2)(x-2.5)(x-4)}{5 \times 4 \times 3.5 \times 2}\= &0.51 x(x-2)(x-2.5)(x-4)(x-6)+(-5.55)(x-1)(x-2.5)(x-4)(x-6)\ &+5.58(x-1)(x-2)(x-4)(x+6) +(-2.12)(x-1)(x-2)(x-2.5)(x-6)\ & +0.365(x-1)(x-2)(x-2.5)(x-4) \end

### 第二题 用雅可比迭代求解方程组。(初始向量:$\boldsymbol{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\mathrm{T}}$)

\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \ 1 & 1 & 1 \ 2 & 2 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \ 3 \ 5 \end{array}\right]

解:由题可得: 解:由题可得:

\left{ \begin{aligned} &x_1^{(k+1)}=1-2 x_2^{(k)}+2 x_3^{(k)} \ &x_2{(k+1)}=3-x_1-x_3^{(k)} \ &x_3^{(k+1)}=5-2 x^{(k)}-2 x_2^{(k)} \end{aligned}\right.

取初始向量:$\boldsymbol{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0\end{array}\right]^{\mathrm{T}}$,则有:

\left{ \begin{aligned} &x^{(1)}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 3 & 5 \end{array}\right]^{\top} \ &x^{(2)}=\left[\begin{array}{lll} 5 & -3 & -3 \end{array}\right]^{\top} \ &x^{(3)}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \end{array}\right]^{\top} \ &x^{(4)}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \end{array}\right]^{\top} \ \end{aligned}\right.

因为:$\left\|x^{(3)}-x^{(4)}\right\|<0.01$ 在误差允许范围内所以$[1,1,1]$为最终解。 ### 第三题 试实现高斯-赛德尔迭代算法的程序化,并利用程序求解方程组。 < p>

\left[\begin{array}{ccc} 8 & -3 & 2 \ 4 & 11 & -1 \ 6 & 3 & 12 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 20 \ 33 \ 36 \end{array}\right]

解:根据算法得到如下程序<!code2>输出结果为<!code3>解:根据算法得到如下程序

1
2
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51
52
#include<stdio.h>
#include<math.h>
//设置最大迭代次数
#define N 20
//设置目标精度
#define exc 1e-5

//定义高斯塞德尔迭代函数,*a为行列式矩阵
void gauss(float *a,int n,float x[])
{
int i,j,k=1;
float d,dx,eps;
for(i=0;i<=n-1;i++)x[i]=0.0;//定义初值为:[0,0,0]
while(1)
{
eps=0;
for(i=0;i<=n-1;i++)//精度循环
{
d=0;
for(j=0;j<=n-1;j++)//核心循环
{
if(j==i)continue;
d+=*(a+i*(n+1)+j)*x[j];
}
dx=(*(a+i*(n+1)+n)-d)/(*(a+i*(n+1)+i));
eps+=fabs(dx-x[i]);//求代数精度的绝对值
x[i]=dx;
}
if(eps<exc)//比较代数精度
{printf("迭代次数为:%d\n",k);return;}
if(k>N)
{
printf("false\n");
return;
}
k++;
}
}

//主程序
int main()
{
int i;
float a[3][4]=
{ 8,-3, 2,20,
4,11,-1,33,
6, 3,12,36, };
float x[3];
gauss(a[0],3,x);
for(i=0;i<3;i++)printf("x[%d]=%f\n",i+1,x[i]);
}

输出结果为
1
2
3
4
迭代次数为:3
x[1]=3.009814
x[2]=1.996807
x[3]=0.995891