相量法

复数

形式 表达式
代数形式 F=a+jbF=a+jb
三角形式 F=F(cosθ+jsinθ)F=\lvert F\rvert (\cos\theta + j \sin \theta )
指数形式 F=FejθF=\lvert F\rvert e^{j\theta }
极坐标形式 $F=\lvert F\rvert \angle \theta $

其中F=a2+b2θ=arctanba|F|=\sqrt{a^2+b^2}\quad θ=arctan\frac{b}{a}, 欧拉公式

eiθ=cosθ+isinθ=1θe^{i\theta}=\cos\theta + i \sin\theta=1\angle\theta

复数的运算:

原则:加减法用代数式,乘除法用指数或者极坐标式。

  1. 相等

  2. 加减(向量加减) A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)A_1±A_2=(a_1±a_2)+j (b_1±b_2)

  3. 乘除(用指数形式来记忆)

    F1F2=F1F1ej(θ1+θ2)=F1F2θ1+θ2F1F2=F1F2θ1θ2\begin{aligned} F_1\cdot F_2 &=|F_1|\cdot|F_1|\cdot e^{j(\theta_1+\theta_2)}=|F_1\cdot F_2|\angle \theta_1+\theta_2 \\ \frac{F_1}{ F_2} &=\frac{|F_1|}{|F_2|}\angle \theta_1-\theta_2 \\ \end{aligned}

  4. 旋转(即模为1的乘除法)

    例子:

    22035+(17+j9)(4+j6)20+j5=180.2+j126.2+19.2427.9×7.21156.320.6214.04=180.2+j126.2+6.72870.16=180.2+j126.2+2.28+j6.33=182.48+j132.53=225.536\begin{aligned} & \qquad 220 \angle 35^{\circ}+\frac{(17+j 9)(4+j 6)}{20+j 5} \\ &=180.2+j 126.2+\frac{19.24 \angle 27.9^{\circ} \times 7.211 \angle 56.3^{\circ}}{20.62 \angle 14.04^{\circ}} \\ &=180.2+j 126.2+6.728 \angle 70.16^{\circ} \\ &=180.2+\mathrm{j} 126.2+2.28+\mathrm{j} 6.33 \\ &=182.48+\mathrm{j} 132.53 \\ &=225.5 \angle 36^{\circ} \end{aligned}

正弦量

在选定的参考方向下,电路中随时间按正弦规律变化的电压、电流等,称为正弦量。

i(t)=Imcos(ωt+φ)i(t)=I_m\cos(\omega t +\varphi)

要点:振幅(最大值),角频率(相角变化的速度),初相位。

相位差φ12=φi1φu2\varphi_{12}=\varphi_{i_1}-\varphi_{u_2} 各种叫法:

情况 叫法
φ12<0\varphi_{12}<0 u提前i φ\varphi角, i滞后u φ\varphi
φ12=0\varphi_{12}=0 同相
φ12>0\varphi_{12}>0 u滞后i φ\varphi角, i提前u φ\varphi
φ12=180\varphi_{12}=180^{\circ} 反相
φ12=π/2\varphi_{12}=π /2 正交(称u提前i π/2\pi /2角,或i滞后u π/2\pi /2角 )

有效值

定义:瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根

I=1T0Ti2(t)dtU=1T0Tu2(t)dt \begin{aligned} I&=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} i^{2}(t) d t}\\ U&=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} u^{2}(t) d t} \end{aligned}

对于非正弦情况,因为如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利条件,那么它可以展开成一个收敛级数,即傅里叶级数。电工技术中所遇到的周期函数f(t)一般都能满足这个条件,因而可以分解为下列的傅里叶级数。根据傅立叶级数变换

f(t)=A0+k=1(Akcoskwt+Bksinkwt) f(t)=A_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\left(A_{k} \cos k w t+B_{k} \sin k w t\right)

一个非正弦周期电流i可以分解为傅里叶级数:

i=I0+k=1Imksin(kωt+φk) i=I_{0}+\sum_{k=1}^{\infty} I_{m k} \sin \left(k \omega t+\varphi_{k}\right)

进而:

I=1T0T[I0+k=1Imksin(kωt+φk)]2dt1T0TI02dt=I021T0TImk2sin2(kωt+φk)dt=(Imk2)2=Ik21T0T2I0Imksin(kωt+φk)dt=01T0T2Imksin(kωt+φk)Imqsin(qωt+φq)dt=0 \begin{array}{l}I=\sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left[I_{0}+\sum_{k=1}^{\infty} I_{m k} \sin \left(k \omega t+\varphi_{k}\right)\right]^{2} d t} \\\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{0}^{2} d t=I_{0}^{2} \\\frac{1}{T} \int_{0}^{T} I_{m k}^{2} \sin ^{2}\left(k \omega t+\varphi_{k}\right) d t=\left(\begin{array}{c}I_{m k} \\\sqrt{2}\end{array}\right)^{2}=I_{k}^{2} \\\frac{1}{T} \int_{0}^{T} 2 I_{0} I_{m k} \sin \left(k \omega t+\varphi_{k}\right) d t=0 \\\frac{1}{T} \int_{0}^{T} 2 I_{m k} \sin \left(k \omega t+\varphi_{k}\right) I_{m q} \sin \left(q \omega t+\varphi_{q}\right) d t=0\end{array}

最终得到非正弦周期电流i的有效值(电压同理):

I=I02+I22+I32+Im2+ \color{red} I=\sqrt{I_0^2+I_2^2+I_3^2+\cdots I_m^2+\cdots}

向量表示

由于复数部分没有物理意义,所以可以用复数来表示正弦量。

i(t)=Imcos(ωt+φ)A(t)=2Iej(ωt+φ)i(t)=I_m\cos(\omega t +\varphi) ⇔ A(t)=\sqrt{2} I e^{j(\omega t +\varphi)}

因此可以用向量来表示正弦量如下

i(t)=2ICos(ωt+φ)I˙=Iφu(t)=2UCos(ωt+θ)U˙=Uθ\begin{array}{l}i(t)=\sqrt{2} I \operatorname{Cos}(\omega t+\varphi) \rightarrow \dot{I}=I \angle \varphi \\u(t)=\sqrt{2} U \operatorname{Cos}(\omega t+\theta) \rightarrow \dot{U}=U \angle \theta\end{array}

向量图

已知

i=141.4Cos(314t+30)Au=311.1Cos(314t60)Vi=141.4 \operatorname{Cos}\left(314 t+30^{\circ}\right) \mathrm{A}\\ u=311.1 \operatorname{Cos}\left(314 t-60^{\circ}\right) \mathrm{V}

试用相量表示 i,ui, u

i=10030AU˙=22060V{i}=100 \angle 30^{\circ} \mathrm{A} \quad \dot{U}=220 \angle-60^{\circ} \mathrm{V}

同频率正弦量直接向量相加。

*三种基本电路元件伏安关系的相量形式

阻抗与导纳

(伏)阻抗定义

正弦激励下无源线性电路电压与电流的比值,代表限制电流的能力。

Z= def U˙I˙=UφuIφi=UIφuφi=ZφZ=R+jXZ \stackrel{\text { def }}{=} \frac{\dot{U}}{\dot{I}}=\frac{U \angle \varphi_{u}}{I \angle \varphi_{i}}=\frac{U}{I} \angle \varphi_{u}-\varphi_{i}=|Z| \angle \varphi_{Z}=R+jX

其中Z=UI|Z|=\frac{U}{I} 称之为阻抗模φZ=φuφi\varphi_Z=\varphi_u-\varphi_i称之为阻抗角,X称之为电抗。向量形式ZRXZRX显而易见,再定义:

{R=Re[Z]=ZcosφZ电阻X=Im[Z]=ZsinφZ电抗\left\{\begin{array}{l} R=\operatorname{Re}[Z]=|Z| \cos \varphi_{Z}\quad\text{电阻} \\ X=\operatorname{Im}[Z]=|Z| \sin \varphi_{Z}\quad\text{电抗} \end{array}\right.

如果假设所在电路只有一个组件,则可以得到电阻、电容、电感的阻抗表达式如下

原件 (伏)阻抗ZRZ_R
R(电阻) R
L(感抗) jωLj \omega L
C(容抗) 1/jωC1/j \omega C

由上面的表达式可以得到:电阻阻抗不变;感抗与ω\omega成正比,无穷大时开路;容抗与ω\omega成反比,趋于零时其值最大(阻直流),无穷时其值趋于零(短路)。

由于电抗的存在,使电流、电压的相位不同,存在相位差。而电阻则不影响电路的相位,从下面的分析可见一二。

RLC串联电路的阻抗:

串联电路的阻抗

容易计算得到电抗值为:X=XLXC=ωL1ωCX=X_{L}-X_{C}=\omega L-\frac{1}{\omega C},因此,当电容电感取值不一样时,电压电流的相位关系有所不同:

{X>0,ωL>1ωC,φz>0, Z呈感性,电压超前电流X<0,ωL<1ωC,φz<0, Z呈容性,电压滞后电流X=0,ωL=1ωC,φZ=0, Z呈电阻性,谐振,电压、电流同相\left\{\begin{array}{l} X>0, \omega L>\frac{1}{\omega C}, \varphi_{z}>0,\ \text{Z呈感性,电压超前电流} \\ X<0, \omega L<\frac{1}{\omega C}, \varphi_{z}<0,\ \text{Z呈容性,电压滞后电流} \\ X=0, \omega L=\frac{1}{\omega C}, \varphi_{Z}=0,\ \text{Z呈电阻性,谐振,电压、电流同相} \end{array}\right.

经过上面的分析,可以看出阻抗的表达式由电阻分量与电抗分量组成:

Z(jω)=R(ω)+jX(ω)\color{red}Z(j \omega)=R(\omega)+j X(\omega)

*导纳的定义:

简而言之。导纳就是阻抗的倒数,导纳模,导纳角的定义不再赘述,

Y= def I˙U˙=IφiUφu=IUφiφu=Yφy=G+jBY \stackrel{\text { def }}{=} \frac{\dot{I}}{\dot{U}}=\frac{I \angle \varphi_{i}}{U \angle \varphi_{u}}=\frac{I}{U} \angle \varphi_{i}-\varphi_{u}=|Y| \angle \varphi_{y}=G+jB

RLC并联电路的导纳:

并联电路的导纳

差不多,真的很像!简直一模一样!不写了,考试又不考,以后又不大用得上,知识,请原谅我的无情吧。

阻抗串联,求和方法与电阻一样。

导纳并联,各支路导纳直接加和。

正弦稳态电路的分析

电阻电路与正弦稳态电路相量法分析是极其相似的:

比较

方法知道了,但总归还是多刷题:

image-20211105153516762

正弦稳态电路的功率

有功(平均)功率

由上面i u 的表达式可以定义瞬时功率P:

p=ui=2Ucos(ωt+φu)2Icos(ωt+φi)=2UIcos(ωt+φu)cos(ωt+φi)=UIcos(φuφi)+UIcos(2ωt+φu+φi)=UIcosφ+UIcos(2ωt+φu+φi)\begin{aligned} p=u i &=\sqrt{2} U \cos \left(\omega t+\varphi_{u}\right) \cdot \sqrt{2} I \cos \left(\omega t+\varphi_{i}\right) \\ &=2 U I \cos \left(\omega t+\varphi_{u}\right) \cos \left(\omega t+\varphi_{i}\right) \\ &=U I \cos \left(\varphi_{u}-\varphi_{i}\right)+U I \cos \left(2 \omega t+\varphi_{u}+\varphi_{i}\right) \\ &=U I \cos \varphi+U I \cos \left(2 \omega t+\varphi_{u}+\varphi_{i}\right) \end{aligned}

画成图像如下:

瞬时功率

  • p>0, 电路吸收功率,p<0,电路发出功率。
  • p以2ω\omega角频率变化。

但瞬时功率不断变化,没什么鸟用,我们可以用微积分思想来求其在一段时间内的平均功率,亦即在时间t内瞬时功率p的积分

P=1T0Tpdt=1T0TUI[cosφ+cos(2ωt+2φu+φi)]dtP=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} p d t=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} U I\left[\cos \varphi+\cos \left(2 \omega t+2 \varphi_{u}+\varphi_{i}\right)\right] d t

P=UIcosφ(W)\color{red}P=UI\cos\varphi\quad(W)

λ=cosφ\color{red}\lambda=\cos\varphi功率因数φ\varphi为功率因数角,对无源网络,为其等效阻抗的阻抗角。当cosφ=1\cos\varphi=1为纯电阻电路,当cosφ=0\cos\varphi=0为纯电抗电路。

无功功率

Q=UIsinφ(var)\color{red}Q=UI\sin \varphi\quad(var)

Q>0,表示网络吸收无功功率;Q<0,表示网络发出无功功率。 Q 的大小反映网络与外电路交换功率的大小。是由储能元件L、C的性质决定的。

视在功率

S=UI(VA)\color{red} S=UI\quad(VA)

视在功率反映电气设备的容量。

S2=P2+Q2S^2=P^2+Q^2

φ=arctan(QP)\varphi=\arctan(\frac{Q}{P})

φ\varphi代表电流与电压的相位差

原件&电路 φ=φuφi\varphi=\varphi_u-\varphi_i
电阻 0
电容 π/2\pi/2
电感 π/2-\pi/2
RLC串联 φZ\varphi_Z
RLC并联 φZ\varphi_Z

复功率

为了用向量来直接计算功率(天空总是很蓝,人们总是很懒[1]

U˙=UφuI˙=IφiP=UIcos(φuφi)=UIRe[ej(φuφi)]=Re(UejφuIejφi)=Re[U˙I˙]\begin{aligned} \dot{U} &=U \angle \varphi_{u} \quad\dot{I}=I \angle \varphi_{i} \\ P &=U I \cos \left(\varphi_{u}-\varphi_{i}\right)=U I \operatorname{Re}\left[e^{\mathrm{j}\left(\varphi_{u}-\varphi_{i}\right)}\right] \\ &=\operatorname{Re}\left(U \mathrm{e}^{\mathrm{j} \varphi_{u}} \cdot I \mathrm{e}^{-\mathrm{j} \varphi_{i}}\right)\\ &=Re[\dot{U}\cdot \dot{I}^*] \end{aligned}

Sˉ=U˙I˙\color{red} \bar{S}=\dot{U} \dot{I}^{*}

Sˉ=UI(φuφi)=UIφ=Sφ=UIcosφ+jUIsinφ=P+jQ\begin{aligned} \bar{S}&=U I \angle\left(\varphi_{u}-\varphi_{i}\right)=U I \angle \varphi=S \angle \varphi \\ &=U I \cos \varphi+\mathrm{j} U I \sin \varphi \\ &=P+\mathrm{j} Q \end{aligned}

  • 复功率守恒定理:在正弦稳态下,任一电路的所有支路吸收的复功率之和为零。

提高功率因数

功率因数过低时,设备不能充分利用,电流到了额定值,但功率还有容量没用; 当输出相同的有功功率时,线路上电流大I=P/(Ucosφ)I=P/(U\cos\varphi),线路压降损耗大。

解决方法:并联电容,提高功率因数(改进自身设备)。

并联电容

功率因数提高后,线路上电流减少,就可以带更多的负载,充分利用设备的能力。


  1. 不知道哪里听来的一句话 ↩︎