铁壹-牢记定义

根据近来做题,发现以下几个定义式比较有用:

f′(x)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0⟹f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x⟹lim⁡x→0f(x)xf'(x)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\Longrightarrow \color{purple} f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}\Longrightarrow \color{green}\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}

f′(x)=lim⁡Δx→0=f(x0+Δx)−f(x0)Δxf'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}=\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}

Note: 如果想要彻底理解这个定义式,建议去证明ax,log⁡axa^x,\log_a x的导数以及导数的基本运算法.

f′(x)=lim⁡x→0ΔyΔxf'(x)=\lim_{x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

微分与导数的关系:(对谁求导,对谁加dd)

f′(x)=dydxdy=f′(x)Δxf'(x)=\frac{dy}{dx}\qquad dy=f'(x)\Delta x

非要说明以下的话,就是用微分形式时,分母为被微的变量,分子为该变量的函数

(dx)n=dxnd(xn)=nxn−1dx\color{red} (dx)^n=dx^n\quad d(x^n)=nx^{n-1}dx

铁贰- 基本公式

标红的是第一次回忆时写错的.

C′=0(xn)′=nxn−1(ax)′=ax⋅ln⁡a→(ex)′=ex(log⁡ax)′=1x⋅ln⁡a→(ln⁡x)′=1xsin⁡x′=cos⁡xcos⁡x′=sin⁡xtan⁡x′=sec⁡2xcot⁡x′=−csc⁡2xarcsin⁡x′=11−x2arccos⁡x′=−11−x2arctan⁡x′=11+x2arccotx′=−11+x2\begin{aligned} C'&=0 \\ (x^n)' &=nx^{n-1}\\ (a^x)' &=a^x\cdot \ln a \to (e^x)'=e^x\\ (\log_a x)' &=\frac{1}{x\cdot \ln a}\to(\ln x)'=\frac{1}{x}\\ \sin x' &=\cos x\\ \cos x' &= \sin x\\ \tan x' &=\sec^2 x\\ \color{red} \cot x'&=-\csc^2 x\\ \arcsin x'&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \color{red} \arccos x'&=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \arctan x'&=\frac{1}{1+x^2}\\ \color{red} \text{arccot} x'&=-\frac{1}{1+x^2} \end{aligned}

铁叁-计算法

隐函数求导

将变量视为常量

反函数求导

只需要记住对原函数的导数与反函数的导数的乘积为1.

x=f(y)→y=f−1(x)f′(y)=1[f−1(x)]′x=f(y)\to y=f^{-1}(x)\\ f'(y)=\frac{1}{[f^{-1}(x)]'}

对于一阶导数推导过程如下:

dydx=1dxdy\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}

很容易理解: y对x的微分等于x对y的微分的倒数

对于一阶导数推导过程如下:(推导中间把微分转化成导数形式了)

y′′=d2ydx2=d(dydx)dx对一阶导数(x的函数)再求导=d(1dxdy)dy⋅dydx转化成对反函数一阶导数(y的函数)求导=d1x′dy⋅1dydx=0−1⋅(x′)′(x′)2⋅1x′=−x′′(x′)3\begin{aligned} y''=\frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}\qquad \text{对一阶导数(x的函数)再求导}\\ &=\frac{d(\frac{1}{\color{green}\frac{dx}{dy}})}{\color{green}dy}\cdot \frac{\color{green}dy}{dx}\qquad \text{转化成对反函数一阶导数(y的函数)求导}\\ &=\frac{d\frac{1}{x'}}{dy}\cdot \frac{1}{\frac{dy}{dx}}\\ &=\frac{0-1\cdot(x')'}{(x')^2}\cdot \frac{1}{x'}\\ &=\frac{-x''}{(x')^3} \end{aligned}

分段函数

分段点处一定要用定义法,其余部分可以用公式偷懒计算:smile_cat:

对数微分法

常适用于幂指函数,以及多项的乘除,开方,幂,可以把乘除变为加减:

y=f(x)ln⁡∣y∣=ln⁡∣f(x)∣uv=evln⁡u\begin{aligned} y&=f(x)\\ \ln |y|&=\ln |f(x)|\\ u^v &=e^{v\ln u} \end{aligned}

注意条件：右侧应为x的函数。如果右侧含有不可拆分的y,则不能使用。比如y=g(x,y)y=g(x,y)硬用对数求导法求出来的结果是∂g∂x\frac{\partial g}{\partial x} 而不是dydx\frac{dy}{dx}

参数方程

高阶导数

数学二对此处多有考察,值得重视.

值得一提的是莱布尼茨公式(跟牛顿的二项式定理很相似)

(uv)(n)=∑k=0n(nk)v(k)u(n−k)(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}v^{(k)} u^{(n-k)}