微积分中值定理的应用

✍文章痕迹

写作时间线

8-1

1. 抄写撰写了定理的基本定义
2. 参考《微积分解题方法与技巧》[^1]添加了几个例子

文章完成度

• [x] 定义与方法
• [ ] 题型与应用方法
• [ ] 真题练习
• [ ] 自押题

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定义

微分中值定理是罗尔定理、拉格郎日中值定理 和柯西中值定理的统称。其中：

• 拉格朗日中值定理是 微分中值定理的核心，它给出了导数值与函数值之间的某种定理关系，可以应用它来证明一些等式或不等式。
• 罗尔定理可看成特殊情况下的拉格朗日中值定理，它可以证明等式，还有重要应用是可以解决某些方程根的存在性问题。
• 柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，它可以用来证明等式或不等式。微分中值定理是导数应用的理论基础，是应用导数的局部性质研究函数全局性质的重要工具。它使得导数理论用于函数形态的研究成为可能，显示了导数理论、微分学的强大功能和广泛的应用性。

——陈阳、王涛「浅谈微分中值定理证明及应用题目」

各种小定理

• 最值定理若函数$f(x)$满足：在闭区间 $[a,b]$连续，则有：

$$m\le f(x)\le M$$

（其中$m,M$分别为区间内的最小值、最大值）

• 介值定理

若函数$f(x)$满足：在闭区间 $[a,b]$连续， $m,M$分别为区间内的最小值、最大值，当$m\le C \le M$,则有：

$$\exists\xi\in[a,b],f(\xi)=C$$

• 平均值原理当 $a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b$ 时, 在 $\left[x_1, x_n\right]$ 上至少存在一点 $\xi$, 使：

$$\displaystyle f(\xi)=\frac{f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)+\cdots+f\left(x_n\right)}{n}$$

• 零点定理若函数$f(x)$满足：在闭区间 $[a,b]$连续，当 $f(a) \cdot f(b)<0$ 时, 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f(\xi)=0$
• 费马定理若函数$f(X)$在点$x_0$处可导，取极值，则$f^{'}(x_0)=0$

罗尔定理

若函数$f(x)$满足：

1. 在闭区间 $[a,b]$连续
2. 在开区间$(a,b)$可导
3. 端点值相等$f(a)=f(b)$

则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$\color{blue}f^{'}(\xi)=0$

推广：把端点取值范围进行推广，可以得到更为宽泛的罗尔定理。

$\displaystyle \lim_{x\to a^+}f(x) =\lim_{x\to b^-}f(x) = A$, $A$可以为常数、$\pm\infty\Longrightarrow \exists \xi\in(a,b) , f^{'}(\xi)=0$

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}f(x) =\lim_{x\to +\infty}f(x) = A \Longrightarrow \exists\xi\in(-\infty,+\infty),f^{'}(\xi)=0$

罗尔定理的应用

证明方程根

利用$f^{\prime}(\xi)=0$的特点确定方程根的存在性

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设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内二阶可导且存在相等的最 大值, 又 $f(a)=g(a), f(b)=g(b)$, 证明: 存在一点 $\xi \in(a, b)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=$ $g^{\prime \prime}(\xi)$

来自参考文献一·P126·例二

思路很常规，用了罗尔定理，但题设中最大值点不明确，需要分类讨论。第二步需要借用零点存在定理证明另一个点为零。

证明： 令 $F(x)=f(x)-g(x)$, 则函数 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内二阶可 导且

$$F(a)=F(b)=0 .$$

1. 当函数 $f(x), g(x)$ 在 $(a, b)$ 内同一点 $c$ 处取得最大值时, $F(c)=0$. 对函数 $F(x)$ 分别 在区间 $[a, c],[c, b]$ 上使用罗尔定理可知, 存在 $\xi_1 \in(a, c), \xi_2 \in(c, b)$, 使得

$$F^{\prime}\left(\xi_1\right)=F^{\prime}\left(\xi_2\right)=0,$$

进一步, 对函数 $F^{\prime}(x)$ 在区间 $\left[\xi_1, \xi_2\right]$ 上使用罗尔定理, 得存在 $\xi \in\left(\xi_1, \xi_2\right)$, 使得 $F^{\prime \prime}$ $(\xi)=0$,即 $f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$.

2. 当函数 $f(x), g(x)$ 在 $(a, b)$ 内不同点 $c, d(c<d)$ 处取得最大值时, 即 $f(c)=g$ $(d)=M$, 其中 $M$ 为其最大值, 则

$$F(c)=f(c)-g(c)>0, \quad F(d)=f(d)-g(d)<0,$$

由零点定理知, 存在 $\eta \in(c, d)$, 使得 $F(\eta)=0$. 对函数 $F(x)$ 分别在区间 $[a, \eta]$, $[\eta, b]$ 上使用罗尔定理, 得存在 $\xi_1 \in(a, \eta), \xi_2 \in(\eta, b)$, 使得

$$F^{\prime}\left(\xi_1\right)=F^{\prime}\left(\xi_2\right)=0,$$

进一步, 对函数 $F^{\prime}(x)$ 在区间 $\left[\xi_1, \xi_2\right]$ 上使用罗尔定理, 则存在 $\xi \in\left(\xi_1, \xi_2\right)$, 使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$，即$F^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$

解决常见的证明题

当题目中要求证明“至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$f^{(n)}(x)$与$f^{(m)}(x)$”等类似命题时，证明的一般步骤为：

$$\text{变形}\to\text{代换}\to\text{还原}\to\text{合并}$$

而对于没有特征或一般的情形我们可以直接把题设上移项直接转化成$F(x)$，常见辅助函数的设法如下：

形式	辅助函数
$f(x) f^{\prime}(x)$	$F(x)=f^2(x)$
$\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$	$F(x)=\ln f(x)$
$\left[f^{\prime}(x)\right]^2+f(x) f^{\prime \prime}(x)$	$F(x)=f(x) f^{\prime}(x)$
$f^{\prime}(x)+f(x) \varphi^{\prime}(x)$	$F(x)=f(x) \mathrm{e}^{\varphi(x)}$
$f^{\prime}(x) x-f(x), x \neq 0$	$\displaystyle F(x)=\frac{f(x)}{x}$
$f^{\prime \prime}(x) f(x)-\left[f^{\prime}(x)\right]^2, f(x) \neq 0$	$\displaystyle F(x)=\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$

更复杂一点的辅助函数有：

形式	辅助函数
$f^{\prime}(\xi)+\lambda f(\xi)=0$ ( $\lambda$ 为常数)	$F(x)=f(x) \mathrm{e}^{\lambda x}$
$f^{\prime}(\xi)+2 \lambda \xi f(\xi)=0$ ( $\lambda$ 为常数)	$F(x)=f(x) \mathrm{e}^{\lambda x^2}$
$\xi f^{\prime}(\xi)-n f(\xi)=0$ ( $n$ 为自然数)	$F(x)=\frac{f(x)}{x^n}$
$f^{\prime}(\xi)+g(\xi) f(\xi)=0$	$F(x)=f(x) \mathrm{e}^{\int g(x) d x}$

可以发现当出现$\xi f(\xi)^\prime$时，辅助函数用简单的分式就可以，但当出现$\xi f(\xi)$时，就要用上微分方程了。

这里举几个构造辅助函数的示例：

示例一：证明拉格朗日中值定理

以证明拉格朗日中值定理为例，要求证明的等式为

$$f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

我们可以按照变形-代换-还原-合并四步这样构建辅助函数：

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$$\begin{aligned}\textcolor{pink}{1:变形}\qquad&f^{\prime}(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\\\textcolor{orange}{2:代换}\qquad&f^{\prime}(\textcolor{red}{x})-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\\\textcolor{green}{3:还原}\qquad&[f(x)]^{\prime}-[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot x]^{\prime}=0\\\textcolor{teal}{4:合并}\qquad&[f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot x]^{\prime}=0\\\textcolor{purple}{💥构造辅助函数}\qquad&F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot x\end{aligned}$$

然后发现$F(a)=F(b)$，使用罗尔定理，得到$F(x)^\prime=0$得证。

示例二：比示例一稍微复杂的辅助函数

这是去年不知道在哪里找的题目，当时标记的是“好题”，现在看看居然跟拉格朗日中值定理那么像，所以我们依旧可以按照变形-代换-还原-合并四步来构建辅助函数。这道题要求证明的等式为：

$$f(\xi)-\xi f^\prime(\xi)=\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}$$

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$$\begin{aligned}\textcolor{pink}{1:变形}\qquad&\xi f^\prime(\xi)-f(\xi)+\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}=0\\\textcolor{orange}{2:代换}\qquad&x f^\prime(x)-f(x)+\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}=0\\\textcolor{green}{3:还原}\qquad&\frac{x f^\prime(x)-f(x)+\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}}{x^2}=0\\\textcolor{teal}{4:合并}\qquad&[\frac{f(x)-\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}}{x}]^\prime=0\\\textcolor{purple}{💥构造辅助函数}\qquad&F(x)=\frac{f(x)-\frac{af(b)-bf(a)}{a-b}}{x}\end{aligned}$$

拉格朗日中值定理

若函数$f(x)$满足：

1. 在闭区间 $[a,b]$连续
2. 在开区间$(a,b)$可导

则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$\color{blue}f(a)-f(b)=f^{'}(\xi)(b-a)$

柯西中值定理

若函数$f(x)$满足：

1. 在闭区间$[a,b]$连续
2. 在开区间$(a,b)$可导，且$f^{'}(x)\ne 0$则至少存在一点$\xi\in(a,b)$，使得$\color{blue} \displaystyle \frac{F(a)-F(b)}{f(b)-f(a)}=\frac{F^{'}(\xi)}{f^{'}(\xi)}$

用参数方程来理解柯西中值定理的几何意义更容易：

若上图弧线$AB$的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l} x=g(t), \\ y=f(t), \end{array}\right.$($a\le t\le b$)，设$A$对应的参数为$t=a$、$A$对应的参数为$t=b$，则弦$AB$的斜率为 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$. 由参数方程求导公式知, 该曲线在点 $C$ 处的切线斜率为 $\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}$, 从而曲线在点 $C$ 处的切线与弦 $A B$ 平行这一事实就表现为 $\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$.

真题的特点