本文为《传热学笔记》的分支,在后期精简过程中会被清理合并。
介质 |
传热机理 |
气体 |
分子不规则运动 |
导电固体 |
自由电子运动 |
不导电固体 |
(声子)晶格结构振动 |
液体 |
综合气体与固体 |
引入温度场:定义各个时刻物体中各点温度所组成的集合,物体的温度场时坐标与时间的函数:t=f(x,y,x,z,τ),如果为稳态问题,则时间为定值,即t=f(x,y,x,z)
导热基本定律
在导热过程中,单位时间内通过给定截面积的导热率量,正比于垂直于该截面方向上的温度变化率和截面面积,热量传递的方向与温度升高的方向相反。
Φ=−λA∂x∂t
q=−A∂x∂t
当物体的温度式三个坐标的函数时,热流密度式是矢量,上式为沿着x方向的矢量,傅里叶导热定律的一般数学表达式为:
q=−λgrad t=−λ∂x∂tn
grad t为空间中某点的温度梯度,n 为通过该点的等温线上的单位矢量。
导热系数
导热系数的数值取决于物质的种类和温度等因素。
导热系数小于0.08W/(m⋅K)的材料被称为保温材料,如矿渣棉、硅藻土、岩棉板、膨胀珍珠岩、SiO2气凝胶等。
降低导热系数的方法:使用空心结构(如将标准黏土砖从实心改成空心率为40%的空心砖,其当量传热系数可以减少大约50%左右)

目标案例
现有一加热炉,炉壁由四层结构构成:最里层为厚65mm的耐火砖,第二层为65mm的隔热层(材质标注为聚轻球,不知道明确材质),第三层为70mm的保温棉,最外层为160mm的保温块(材质未知)。

在炉内温度为1100摄氏度时,炉壁平均为65摄氏度,计算每平方米每小时的散热量。
【分析】:本问题忽略炉顶炉底,仅分析炉壁散热,可以简化为传热学中一维稳态导热问题中的多层平壁模型(忽略各层间的接触热阻,层与层之间不发生温度降低),此模型求解计算时需要知道:
- 各层的厚度:可在工程图中获得数据,
- 各层的导热系数:材料导热系数与温度有关,可假设一估计值,而后进行迭代求解。
- 最内最外层的温度:内层通过热电偶获得,外层通过测温仪测得。
收集数据简单整理如下图:

【导热系数计算】:工程上材料的导热系数一般都是温度的函数,这就意味着需要知道温度才能求得导热系数,然而层间温度本身是未知的,甚至有些材料(如最外层的保温块)本身也是未知的。在这种情况下可通过迭代法求解:估计一个大概的导热系数,用此导热系数来估计出层间温度,与已知的最内侧、最外侧温度进行比较,偏差超过允许值则重新估计,进行迭代,直到逼近到合理数值。
- 将温度分布看作线性——从炉内到炉外依次降低,来估计层间温度。即 Δt=∑δt0−t4=65+65+70+1601100−65=2.875℃/mm
- 查询材料的导热系数经验计算公式,根据层间温度来估计导热系数:
材料层 |
厚度(mm) |
材质 |
参考导热系数λ₀ (W/m·K) |
温度系数b (K⁻¹) |
估计层间温度 |
耐火砖 |
65 |
高铝耐火砖 |
1.30 |
0.0006 |
913.1°C |
聚轻球 |
65 |
轻质氧化铝球 |
0.15 |
0.0003 |
726.2°C |
保温棉 |
70 |
硅酸铝纤维棉 |
0.08 |
0.0001 |
525.0°C |
保温块 |
160 |
微孔硅酸钙板 |
0.07 |
0.0002 |
– |

按照思路撰写迭代程序:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
| import numpy as np
def calculate_lambda(T, lambda0, b): return lambda0 * (1 + b * T)
def solve_furnace_wall(T_inner, T_outer, layers, tol=0.5, max_iter=100): total_thickness = sum(layer[0] for layer in layers) T_interfaces = [T_inner - (T_inner - T_outer) * sum(layers[i][0] for i in range(j+1)) / total_thickness for j in range(3)] print("初始界面温度估计:", [f"{t:.1f}°C" for t in T_interfaces]) for iter in range(max_iter): T_avgs = [] lambdas = [] R_layers = [] T_avg1 = (T_inner + T_interfaces[0]) / 2 lambda1 = calculate_lambda(T_avg1, layers[0][1], layers[0][2]) R1 = layers[0][0] / lambda1 T_avg2 = (T_interfaces[0] + T_interfaces[1]) / 2 lambda2 = calculate_lambda(T_avg2, layers[1][1], layers[1][2]) R2 = layers[1][0] / lambda2 T_avg3 = (T_interfaces[1] + T_interfaces[2]) / 2 lambda3 = calculate_lambda(T_avg3, layers[2][1], layers[2][2]) R3 = layers[2][0] / lambda3 T_avg4 = (T_interfaces[2] + T_outer) / 2 lambda4 = calculate_lambda(T_avg4, layers[3][1], layers[3][2]) R4 = layers[3][0] / lambda4 R_total = R1 + R2 + R3 + R4 q = (T_inner - T_outer) / R_total T2_new = T_inner - q * R1 T3_new = T2_new - q * R2 T4_new = T3_new - q * R3 diff = max(abs(T2_new - T_interfaces[0]), abs(T3_new - T_interfaces[1]), abs(T4_new - T_interfaces[2])) T_interfaces = [T2_new, T3_new, T4_new] print(f"迭代 {iter+1}: q = {q:.2f} W/m², 界面温度: {T2_new:.1f}°C, {T3_new:.1f}°C, {T4_new:.1f}°C") if diff < tol: print(f"收敛于 {iter+1} 次迭代") return [lambda1, lambda2, lambda3, lambda4], q, T_interfaces raise ValueError(f"未在 {max_iter} 次迭代内收敛")
T_inner = 1100 T_outer = 65
layers = [ (0.065, 1.30, 0.0006), (0.065, 0.15, 0.0003), (0.070, 0.08, 0.0001), (0.160, 0.07, 0.0002) ]
try: lambdas, q, T_interfaces = solve_furnace_wall(T_inner, T_outer, layers) print("\n=== 最终结果 ===") print(f"热流密度 q = {q:.2f} W/m²") print("各层导热系数:") print(f" 1. 耐火砖: {lambdas[0]:.4f} W/(m·K) (参考λ₀=1.30)") print(f" 2. 聚轻球: {lambdas[1]:.4f} W/(m·K) (参考λ₀=0.15)") print(f" 3. 保温棉: {lambdas[2]:.4f} W/(m·K) (参考λ₀=0.08)") print(f" 4. 保温块: {lambdas[3]:.4f} W/(m·K) (参考λ₀=0.07)") print(f"界面温度: T2={T_interfaces[0]:.1f}°C, T3={T_interfaces[1]:.1f}°C, T4={T_interfaces[2]:.1f}°C") except ValueError as e: print(e)
|
运行结果:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
| 初始界面温度估计: ['913.1°C', '726.2°C', '525.0°C'] 迭代 1: q = 307.96 W/m², 界面温度: 1090.4°C, 983.3°C, 729.7°C 迭代 2: q = 315.15 W/m², 界面温度: 1090.5°C, 986.3°C, 732.3°C 迭代 3: q = 315.24 W/m², 界面温度: 1090.5°C, 986.3°C, 732.3°C 收敛于 3 次迭代
=== 最终结果 === 热流密度 q = 315.24 W/m² 各层导热系数: 1. 耐火砖: 2.1543 W/(m·K) (参考λ₀=1.30) 2. 聚轻球: 0.1967 W/(m·K) (参考λ₀=0.15) 3. 保温棉: 0.0869 W/(m·K) (参考λ₀=0.08) 4. 保温块: 0.0756 W/(m·K) (参考λ₀=0.07) 界面温度: T2=1090.5°C, T3=986.3°C, T4=732.3°C
|
结果整理如下:
材料层 |
厚度(mm) |
迭代导热系数λ₀ (W/m·K) |
迭代层间温度 |
耐火砖 |
65 |
2.1543 |
1090.5°C |
聚轻球 |
65 |
0.1967 |
986.3°C |
保温棉 |
70 |
0.0869 |
732.3°C |
保温块 |
160 |
0.0756 |
– |
则总热阻为
Rtotal=2.15430.065+0.19670.065+0.08690.070+0.07560.16=3.283m2⋅K/W
热流密度为:
q=Rtotal1100−65=315.26W/m2=315.26J/s⋅m−2
则每平方米炉壁每小时散热:
- 1134.85 kJ/(m²·h)(千焦)
- 0.3152 kWh/(m²·h)(换算成千瓦时)
- 0.0317Nm3/(m2⋅h)(换算成标准大气压下天然气消耗(35.8兆焦/方))